PHYSIQUE - Physique et mathématique


PHYSIQUE - Physique et mathématique
PHYSIQUE - Physique et mathématique

L’existence d’une relation particulière entre la physique et les mathématiques est universellement reconnue. Les témoignages explicites en abondent à travers toute l’histoire de la physique, à commencer par la célèbre assertion de Galilée: «La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert devant nos yeux (je veux dire: l’Univers), mais on ne peut le comprendre si l’on n’apprend pas d’abord à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et d’autres figures géométriques sans l’intermédiaire desquelles il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot.» Trois siècles plus tard, l’astrophysicien Jeans écrit: «Le Grand Architecte semble être mathématicien.» On pourrait collecter une véritable anthologie de telles citations. Et n’importe quel chapitre de la physique semble servir d’exemple à ces affirmations. Comment concevoir la mécanique classique newtonienne sans calcul différentiel et intégral, l’électromagnétisme synthétisé par Maxwell sans équations aux dérivées partielles, la relativité générale sans calcul tensoriel, la mécanique quantique sans espaces de Hilbert?

Il semble donc clair que la physique utilise avec succès les mathématiques. On verra néanmoins que cet énoncé, loin d’être le strict constat de fait qu’il paraît, est lourd de présupposés, même s’il résume une vision immédiate de la situation. Mais il conduit directement à s’interroger sur les causes de ce succès. Comment se fait-il que les mathématiques, réputées en général étude d’abstractions pures, «marchent» en physique, considérée comme la science du concret par excellence? Que cette adéquation pose un problème est souvent attesté par les physiciens eux-mêmes, avec une surprise naïve ou comme un aveu gêné: «Il est cependant [...] remarquable que, parmi les constructions abstraites réalisées par les mathématiques en prenant pour guide exclusif leur besoin de perfection logique et de généralité croissante, aucune ne semble devoir rester inutile au physicien. Par une harmonie singulière, les besoins de l’esprit, soucieux de construire une représentation adéquate du réel, semblent avoir été prévus et devancés par l’analyse logique et l’esthétique abstraite du mathématicien» (P. Langevin). «Nous disposons ainsi à propos de chaque chapitre des mathématiques [...] d’une infinité de jeux possibles [...]. Nous avons supposé que, parmi ces jeux, il était possible d’en distinguer que l’on pût faire correspondre à tout ou partie de la réalité physique [...]. Un tel succès – grâce à quoi la physique mathématique existe – ne pouvait être escompté a priori» (T. Vogel). «L’idée que les mathématiques pouvaient en quelque sorte s’adapter à des objets de notre expérience me semblait remarquable et passionnante» (W. Heisenberg).

1. Les mathématiques, langage de la physique?

Les solutions apportées au problème des rapports entre physique et mathématiques sont diverses, mais, qu’elles proviennent de scientifiques ou de philosophes, elles reposent dans leur écrasante majorité, surtout aujourd’hui, sur l’idée que les mathématiques constituent le langage de la physique. Au texte de Galilée déjà cité, on peut ajouter deux citations: «Toutes les lois sont tirées de l’expérience, mais, pour les énoncer, il faut une langue spéciale; le langage ordinaire est trop pauvre, il est d’ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si délicats, si riches et si précis. Voilà donc une première raison pour laquelle le physicien ne peut se passer des mathématiques; elles lui fournissent la seule langue qu’il puisse parler» (H. Poincaré). «Les mathématiques constituent pour ainsi dire le langage à l’aide duquel une question peut être posée et résolue» (W. Heisenberg).

Cette conception des mathématiques comme langage de la physique peut toutefois s’interpréter de diverses façons, suivant que ce langage est pensé comme celui de la nature, que devra s’efforcer d’assimiler l’homme qui l’étudie, ou à l’inverse comme le langage de l’homme, dans lequel devront être traduits les faits de la nature pour devenir compréhensibles et appréhendables. La première position semble être celle de Galilée, encore qu’il soit imprudent de trop solliciter ce passage; elle est celle d’Einstein: «D’après notre expérience à ce jour, nous avons le droit d’être convaincus que la nature est la réalisation de ce qu’on peut imaginer de plus simple mathématiquement. Je suis persuadé que la construction purement mathématique nous permet de trouver ces concepts et les principes les reliant entre eux, qui nous livrent la clef de la compréhension des phénomènes naturels.» Le second point de vue est celui de Heisenberg: «Les formules mathématiques ne représentent plus la nature, mais la connaissance que nous en possédons.» Il est cependant essentiel de remarquer que les deux attitudes, loin d’être opposées, ne constituent que les points extrêmes d’un spectre continu. De nombreuses positions intermédiaires peuvent être repérées, mais il s’agit toujours de variations sur un même thème. Ce qui caractérise et unifie ces diverses positions est leur référence commune à une même problématique. Il s’agit en effet de trouver un point d’équilibre à l’intérieur d’une structure reposant sur les couples de notions opposées nature-homme, expérience-théorie, concret-abstrait, faits (scientifiques)-lois (scientifiques). Suivant le poids assigné à l’un ou l’autre pôle de ces couples, on obtient une infinité de positions se rattachant à des philosophies de type positiviste, nominaliste, conventionnaliste, pragmatiste, etc., qui appartiennent toutes au spectre philosophique que délimite le couple empirisme-formalisme. Il s’agit en définitive de philosophies d’une même famille. On ajoutera cependant que cette conception des mathématiques comme langage est encore renforcée aujourd’hui par la position philosophique dominante que tient un néo-positivisme logique, exploitant (abusivement) la linguistique structurale.

Or toutes les réponses qui s’appuient sur cette conception manquent leur but en le dépassant. Au problème initialement posé: «Pourquoi les mathématiques s’appliquent-elles en physique?», elles proposent une solution beaucoup trop vague, expliquant l’adéquation des mathématiques à la connaissance scientifique en général, à l’étude de la nature dans son ensemble (il suffit de relire les quelques citations proposées). On voit bien ici la grande parenté de toutes les positions philosophiques évoquées. Elles ont en commun une conception générale de «la» science, qui trouverait dans les mathématiques une méthode universelle de représentation et (bien que ce ne soit pas l’objet de nos considérations ici) s’appuierait par ailleurs sur une méthode expérimentale également universelle. Dans ce cadre, il faut ensuite tenter de penser les différences, les démarcations entre les diverses sciences. C’est ainsi qu’il surgirait maintenant toute une série de questions nouvelles quant à notre problème: «Pourquoi les mathématiques s’appliquent-elles «mieux» à la physique qu’aux autres sciences? Pourquoi n’y a-t-il pas (comme on le verra plus loin) adéquation biunivoque entre concepts mathématiques et concepts physiques?», etc. À vouloir trop prouver, on n’a rien expliqué. Mieux vaut donc tenter un nouveau départ en déplaçant la question classique et, au lieu de «Pourquoi...? », on se demandera d’abord: «Comment les mathématiques s’appliquent-elles à la physique?» ou plutôt: «Quelle est la nature du rapport des mathématiques et de la physique?»

2. La nature du rapport des mathématiques et de la physique

On commencera par observer qu’une formule telle que «les mathématiques s’appliquent aux autres sciences» est déjà une prise de position sur le fond du problème, en ceci qu’elle caractérise le rapport des mathématiques auxdites sciences comme un rapport d’application. Il s’agirait donc d’un rapport instrumental, les mathématiques intervenant comme pur outil technique, en position d’extériorité par rapport au lieu de leur intervention. Une telle description paraît justifiée dans le cas de la chimie, de la biologie, des sciences de la Terre, etc., c’est-à-dire, en général, des «sciences exactes» autres que la physique. Le rôle des mathématiques y est en effet réduit, pour l’essentiel, au calcul numérique, c’est-à-dire à la manipulation du quantitatif. Il peut s’agir d’applications élémentaires, comme l’équilibrage de réactions chimiques, ou, toujours en chimie, l’évaluation des valences, ou de cas plus complexes comme l’utilisation de méthodes statistiques en génétique. Mais chaque fois on peut affirmer l’existence d’une séparation assez nette entre l’arsenal conceptuel propre à l’un de ces domaines scientifiques et les techniques mathématiques qui y sont utilisées. Plus précisément, et pour ne prendre que quelques exemples plus ou moins arbitraires, des concepts fondamentaux tels que ceux de corps pur ou corps simple, de réaction, de liaison chimique, d’oxydation et de réduction en chimie, de structures primaire, secondaire et tertiaire des protéines, d’activité enzymatique, d’allostérie, de code génétique en biologie moléculaire, de sédimentation, de métamorphisme, de faciès, de géosynclinal en géologie, n’ont rien de mathématique ni dans leur définition ni dans leur mise en jeu.

Il en va tout autrement en physique, où les mathématiques jouent un rôle plus profond. Il serait en effet difficile de trouver un concept physique qui ne soit indissolublement associé à un (ou plusieurs) concept(s) mathématique(s). Comment, par exemple, penser de façon efficace le concept de vitesse sans faire intervenir celui de dérivée? Comment penser «champ électromagnétique» sans penser «champ de vecteurs»? Comment penser «principe de relativité» sans penser «théorie des groupes»? Comment penser «variable dynamique quantique» sans penser «opérateur auto-adjoint dans un espace de Hilbert»? Les mathématiques sont ainsi intériorisées par la physique. On dira que celles-là ont avec celle-ci un rapport de constitution . C’est une idée voisine qu’exprimait déjà Bachelard: «Les hypothèses de la physique se formulent mathématiquement. Les hypothèses scientifiques sont désormais inséparables de leur forme mathématique: elles sont vraiment des pensées mathématiques [...]. Il faut rompre avec ce poncif cher aux philosophes sceptiques qui ne veulent voir dans les mathématiques qu’un langage. Au contraire, la mathématique est une pensée, une pensée sûre de son langage. Le physicien pense l’expérience avec cette pensée mathématique...» Et ailleurs: «Le mathématisme est non plus descriptif mais formateur.» Cependant, la discrimination pensée-langage n’est pas parfaitement claire; par ailleurs, Bachelard parle de la «mathématisation progressive, dynamique dominante de l’histoire des sciences» en général, étendant ainsi, au-delà de la physique, une caractéristique que l’on montrera plus loin être au contraire spécifique de cette dernière. Mais on précisera d’abord ce qui est désigné ici comme «rapport de constitution». Bien entendu, un concept physique n’est pas, ne s’identifie pas, ne se réduit pas au(x) concept(s) mathématique(s) qu’il met en jeu; la physique ne se ramène pas à la physique mathématique. Il importe de ne pas concevoir la distinction entre un concept physique et sa caractérisation mathématique comme une simple différence statique. Un concept physique n’est pas un concept mathématique plus «autre chose». Le concept mathématique n’est ni un squelette auquel la physique prête chair, ni une forme abstraite que la physique emplirait d’un contenu concret: il est essentiel de penser le rapport des mathématiques à la physique en termes dynamiques. Plutôt que rapport de constitution, on devrait le penser comme rapport constituant; peut-être même l’expression «rapport de production» ne serait-elle pas déplacée pour exprimer cette idée. On en voudra pour illustration tout le développement historique de la physique à partir de Galilée.

Une contre-épreuve probante est, d’ailleurs, fournie par les multiples tentatives, avortées mais toujours recommencées, pour «démathématiser» la physique. Après chaque seuil franchi, des nostalgiques se dressent pour réclamer une physique «plus intuitive», «moins mathématique». Avant d’être adressées à la mécanique quantique et à la relativité, ces mêmes critiques furent adressées en leur temps à la théorie électromagnétique de Maxwell et à la théorie de la gravitation de Newton (voir par exemple la théorie corpusculaire de Lesage, qui prétendait expliquer la loi de Newton par un «mécanisme» simple). On retrouve dans ces positions l’écho des points de vue épistémologiques traditionnels rappelés plus haut, où le rapport mathématique-physique tend à se confondre avec le rapport des termes du couple formel abstrait-concret. Dès lors, à chaque étape de la physique, on mettra l’accent sur le caractère «de plus en plus mathématique» de ses lois (comme si une équation aux dérivées partielles était plus mathématique qu’une équation différentielle, ou comme si un espace de Hilbert l’était plus qu’un espace euclidien à trois dimensions...) et de «plus en plus abstrait» de ses concepts. Les physiciens orthodoxes accepteront cette situation comme une conquête remarquable ou comme un mal inéluctable; les hétérodoxes la rejetteront. Mais tous seront d’accord sur la description de la situation, sans voir qu’il s’agit là d’énoncés purement idéologiques, traduisant une méconnaissance commune de l’activité scientifique comme activité productrice de connaissances, dont les conditions historiques seules déterminent le cours. On débouche ainsi sur la question de savoir ce qu’est la physique et, plus précisément, comment elle se distingue des autres sciences. On verra plus loin que la compréhension de la relation de ces dernières avec les mathématiques permet justement de répondre à cette question. Pour l’instant, il reste à caractériser plus finement cette relation. On vient en tout cas de voir que les notions de «concret» et d’«abstrait» sont indissolublement liées à la pratique théorique et expérimentale du moment et ne sauraient en rien servir de critère épistémologique, en particulier s’il s’agit de comprendre le rapport entre les mathématiques et la physique.

3. Le polymorphisme mathématique de la physique

Il convient donc d’écarter explicitement une interprétation plus ou moins platonicienne du rapport entre physique et mathématiques qui amènerait à concevoir le travail du physicien comme un simple décryptage permettant de retrouver «l’harmonie cachée des choses» (Poincaré), exprimée par les relations mathématiques, sous la complexité des phénomènes que seraient les faits physiques. Encore une fois, parler de rapport de constitution, ce n’est pas sous-entendre que chaque concept physique a une constitution mathématique absolue qui serait sa vérité profonde, son essence définitive. Il suffit, pour s’en persuader et pour attirer l’attention sur la nature dynamique de ce rapport, de prendre conscience d’un caractère essentiel des lois et concepts physiques, que l’on appellera leur polymorphisme mathématique. On désignera ainsi la propriété qu’ont ces lois et concepts de posséder plusieurs mathématisations possibles. Ainsi, le mouvement rectiligne uniforme peut être conçu soit géométriquement: espaces égaux parcourus dans des temps égaux (Galilée), soit fonctionnellement: dépendance linéaire de la distance couverte par rapport au temps, soit encore analytiquement («différentiellement» même): vitesse constante ou accélération nulle (Newton). Un exemple moins grossier serait fourni par la dynamique du point dans un champ de forces conservatif, qui peut être formulée au moyen d’équations différentielles (formulation newtonienne), d’équations aux dérivées partielles (formulation hamiltonienne), de principes variationnels (formulation lagrangienne), etc. Naturellement, les différentes formulations d’une même loi sont rigoureusement équivalentes, au sens des mathématiques. Elles ne le sont pas au sens de la physique, qui établit une distinction claire entre de telles formulations. Cette distinction peut se faire par rapport au passé, dans la mesure où elle reflète justement l’histoire d’un domaine; le surgissement de nouvelles formulations correspond en général à la nécessité de résoudre des problèmes nouveaux et/ou à l’évolution historique des mathématiques elles-mêmes.

L’existence de ces expressions diverses d’un «même» concept ou d’une «même» loi renvoie ainsi très directement à leur mode de production effectif. Leur coexistence à un moment donné traduit parfois la persistance de vestiges archaïques dans un domaine où une refonte épistémologique arrivée à maturation n’a pas été menée à bien (c’est le cas de la mécanique quantique aujourd’hui). Plus souvent, elle correspond à l’existence de situations diverses, tant par leur complexité que par leurs connexions, où une même loi peut être mise en jeu de façons différentes et plus ou moins efficaces suivant la formulation utilisée. C’est pourquoi la physique, différant en cela des mathématiques (au moins sous leur forme moderne), se laisse difficilement axiomatiser. Entre des énoncés déductibles les uns des autres, le physicien hésitera toujours à établir un ordre hiérarchique. «Principes» et «lois» ont en physique une mobilité relative, une interchangeabilité bien supérieure à celle des axiomes et des théorèmes des mathématiques. L’importance de ces remarques s’inscrit encore mieux par rapport à l’histoire future que par rapport à l’histoire passée. Entre les diverses formulations équivalentes d’une même loi à telle époque, c’est en général l’extension à des phénomènes nouveaux qui opérera la discrimination, limitant les unes à un domaine désormais circonscrit, ouvrant aux autres un champ d’action plus vaste. Ainsi, pour reprendre l’exemple cité plus haut, la mécanique relativiste tolère mal la formulation newtonienne (essentiellement fondée sur l’idée d’action à distance instantanée), mais accepte une formulation lagrangienne plus «simple» encore que la théorie non relativiste. Enfin, la distinction entre formulations coexistantes, non seulement s’est faite historiquement dans le passé et se fera épistémologiquement dans le futur, mais encore se fait idéologiquement dans le présent. En effet, chacune de ces formulations charrie avec elle une gangue idéologique plus ou moins épaisse, qui peut jouer un rôle essentiel quant à la faveur ou à la défaveur qu’elle rencontre auprès des physiciens, pris collectivement ou individuellement. Il y aurait par exemple long à dire sur les implications téléologiques que recèlent les principes variationnels, depuis Maupertuis jusqu’à nos jours.

On peut voir là très précisément l’un des modes d’intervention de la «philosophie spontanée des scientifiques» (Althusser) dans la production des connaissances. La position idéologique d’un physicien donné conditionnera un attachement préférentiel de sa part à tel ou tel type de formulation et jouera, suivant les cas, un rôle de moteur ou de frein. Ainsi, la prédilection d’Einstein pour une physique géométrisée lui permettra-t-elle de fonder la relativité générale tout en lui interdisant d’accepter la mécanique quantique. On pourrait trouver dans des considérations similaires l’explication de certains «obstacles épistémologiques» (Bachelard).

4. La plurivalence des mathématiques en physique

On achèvera de dissiper l’illusion d’une harmonie préétablie entre concepts physiques et concepts mathématiques en évoquant, réciproquement au polymorphisme mathématique des lois physiques, la plurivalence physique des structures mathématiques. Ainsi, les équations différentielles linéaires (à coefficients constants) du deuxième ordre régissent-elles les vibrations mécaniques, les oscillations électriques et bien d’autres phénomènes. L’équation aux dérivées partielles de Poisson gouverne aussi bien l’électrostatique que la théorie (statique) de la gravitation, la diffusion de la chaleur et celle des neutrons (en régime stationnaire), l’équilibre d’une membrane élastique déformée, l’écoulement laminaire d’un fluide à deux dimensions, etc. Feynman fait justice de toute interprétation idéaliste de ces identités formelles: «Cependant, dit-il, une question se pose sûrement à la fin d’une telle discussion: pourquoi les équations relatives à ces différents phénomènes sont-elles si semblables? On pourrait dire: c’est l’unité profonde de la nature. Mais qu’est-ce que cela signifie? Que pourrait vouloir dire pareille proposition? Cela pourrait signifier simplement que les équations sont semblables pour différents phénomènes; mais alors nous n’avons assurément donné aucune explication. L’«unité profonde» pourrait signifier que tout est fait de la même matière et, par conséquent, obéit aux mêmes équations. Cela paraît une bonne explication, mais réfléchissons. Le potentiel électrostatique, la diffusion des neutrons, l’écoulement de la chaleur: traitons-nous là de la même matière? Pouvons-nous vraiment imaginer que le potentiel électrostatique est physiquement identique à la température, ou à la densité de particules? Il est certain que ce n’est pas exactement la même chose que l’énergie thermique des particules. Le déplacement d’une membrane n’est certainement pas la même chose qu’une température. Pourquoi alors y a-t-il une «unité profonde»?

«Une observation plus poussée de la physique de ces nombreux sujets montre en fait que les équations ne sont pas vraiment identiques. L’équation que nous avons trouvée pour la diffusion des neutrons n’est qu’une approximation, valable seulement pour des distances grandes devant le libre parcours moyen. En regardant de plus près, nous verrions les neutrons se déplacer individuellement dans différentes directions. Certainement le mouvement individuel d’un neutron est quelque chose de tout à fait différent de la variation douce que nous avons obtenue en résolvant l’équation différentielle. L’équation différentielle est une approximation, parce que nous avons admis que les neutrons étaient également répartis dans l’espace.

«Est-il possible que cela soit la clé du problème? Que ce qui est commun à tous les phénomènes c’est l’espace, le cadre dans lequel est placée la physique? Tant que les choses varient de façon raisonnablement douce dans l’espace, ce qui sera important, ce seront les variations des grandeurs avec la position dans l’espace. C’est pourquoi nous obtenons toujours une équation avec un gradient. Les dérivées doivent apparaître sous forme d’un gradient ou d’une divergence: comme les lois de la physique sont indépendantes de la direction, elles doivent pouvoir s’exprimer sous forme vectorielle. Les équations de l’électrostatique sont les équations vectorielles les plus simples qui ne contiennent que les dérivées des grandeurs par rapport aux coordonnées d’espace. Tout autre problème simple – ou toute simplification d’un problème compliqué – doit ressembler à un problème d’électrostatique. Ce qui est commun à tous nos problèmes, c’est qu’ils font intervenir l’espace et que nous avons imité ce qui en fait un phénomène compliqué par une équation différentielle simple.»

Ces remarques ont évidemment un caractère général et valent pour toutes les situations de plurivalence. C’est donc par un processus général d’approximation-abstraction que divers phénomènes physiques conduisent à des mathématisations analogues. On notera que de telles convergences conduisent d’ailleurs à la construction de nouveaux concepts physiques communs à des domaines très divers. Ainsi les concepts de résonance, d’impédance, etc., jouent-ils un rôle fondamental dans tous les phénomènes oscillatoires (électriques, mécaniques, acoustiques, etc.) dès lors que ceux-ci sont régis par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. C’est véritablement cette mathématisation spécifique qui fonde et constitue les concepts physiques en question, conformément à la thèse avancée précédemment.

Réciproquement, ce phénomène de plurivalence n’est pas sans effet sur les mathématiques elles-mêmes. D’ailleurs, l’idée d’une préexistence des structures mathématiques par rapport aux concepts physiques qu’elles permettent de constituer, si elle n’est pas fondée ontologiquement, ne l’est pas plus historiquement (contrairement à une affirmation de Langevin, citée plus haut, qui reflète une idée assez répandue). Il n’est que de voir l’émergence simultanée et étroitement interconnectée du calcul différentiel et intégral et de la mécanique classique pour prendre conscience de ce fait. C’est ici tout le chapitre du rapport inverse de la physique aux mathématiques qu’il faudrait ouvrir. On y décèlerait un double mouvement contradictoire à l’intérieur des mathématiques, tendant d’une part à une autonomisation totale, installant des mécanismes de développement propres, continuant d’autre part à trouver motivations et appuis dans la physique. Cette tendance contradictoire – indépendance-interdépendance – serait particulièrement intéressante à étudier sur des cas actuels: relation entre la théorie mathématique des représentations des groupes localement compacts et l’utilisation des principes de symétrie en physique quantique, relation entre la théorie des algèbres stellaires et la théorie quantique «axiomatique» des champs.

5. La physique mathématique

On tentera maintenant de préciser le statut assez particulier de la «physique mathématique» en tant que branche spécialisée de la physique. On distinguera tout d’abord la physique théorique de la physique mathématique.

La physique théorique dégage et applique les lois et crée et met en œuvre les concepts physiques sous la contrainte de la physique expérimentale et en interréaction étroite avec celle-ci. Elle comporte différents niveaux, qui peuvent aller de l’interprétation de tel résultat expérimental spécialisé à l’aide des lois physiques connues jusqu’à la recherche de lois fondamentales nouvelles. Elle est mathématique dans la mesure où les mathématiques jouent le rôle constitutif qu’on a indiqué plus haut.

On désigne en général sous le nom de physique mathématique une activité beaucoup plus spécialisée, que l’on pourrait décrire comme une tâche de refonte et d’épuration de la physique théorique. Les théories physiques à leur naissance sont en effet marquées par les conditions historiques de leur production. Leur formulation garde souvent trace des luttes d’idées que leur découverte a exigées. Elles se présentent comme des édifices, neufs certes, mais encore recouverts d’échafaudages et parsemés de débris provenant des anciennes constructions qu’ils remplacent. Retirer les échafaudages, enlever les débris, mettre en pleine lumière la structure interne de l’édifice, la nature et la solidité de ses assises comme ses points faibles, c’est ainsi que l’on peut décrire la tâche de la physique mathématique. Il s’agit donc d’une activité nécessairement récurrente, portant sur des théories et des concepts déjà créés et assurés. Elle permet d’évaluer le degré exact de corrélation entre un certain nombre d’énoncés théoriques, donc d’estimer la rigidité ou la souplesse relatives d’un système théorique face à la nécessité ou à l’éventualité d’une refonte. On donnera en exemple certains développements de la théorie de la relativité restreinte. Le noyau de cette théorie, à savoir l’invariance des lois physiques par le groupe de transformation de Lorentz, fut établi par Einstein à partir de l’hypothèse de la constance universelle de la vitesse de la lumière. Cette constance, néanmoins, est un résultat expérimental, certes déterminé avec une grande précision, mais susceptible d’être remis en cause. Une telle remise en cause ruinerait-elle la théorie de la relativité elle-même? C’est une tâche du physicien mathématicien que d’établir la nature de la corrélation entre cette hypothèse et cette théorie. On sait maintenant que celle-ci n’est qu’une condition suffisante mais nullement nécessaire de celle-là. La théorie de la relativité peut être fondée sur des hypothèses beaucoup plus générales, à partir de l’existence d’un principe de relativité abstrait et à l’aide de la théorie des groupes. On considère même aujourd’hui que la constance de la vitesse de la lumière est une conséquence très particulière de la relativité einsteinienne, due à la nullité de la masse du photon (d’ailleurs, la vitesse de la lumière est aussi celle des neutrinos).

On retrouve ici l’impossibilité d’axiomatiser la physique de façon unique – fût-ce à un moment donné. Il est en effet essentiel de savoir qu’une loi ou une théorie physique peut se déduire de plusieurs jeux de principes, plus ou moins généraux, plus ou moins plausibles. Si la pratique infirme la théorie elle-même, on en conclura qu’au moins une hypothèse dans chaque jeu est invalidée. À l’inverse, quand une hypothèse est contredite, il faut se garder d’en conclure à la faillite de la théorie dans son ensemble. Cependant, la physique mathématique est une activité de physiciens et non de mathématiciens, car la nature des théories qu’elle soumet à son investigation et le type d’hypothèses alternatives qu’elle est amenée à formuler répondent au développement général de la physique et tiennent nécessairement compte, de près ou de loin, de sa pratique expérimentale. Les limites rencontrées par un mathématicien aussi brillant que Poincaré dans son activité de physicien, spécialement à propos de la relativité restreinte, illustrent clairement ces remarques. On notera enfin que, s’il est possible de classer une partie de l’activité en physique théorique sous l’étiquette «physique mathématique», cela n’implique pas nécessairement que la distinction soit institutionnalisée et se traduise par une spécialisation individuelle du travail. Des conditions, internes à la pratique scientifique (difficultés de certains problèmes; nécessité, pédagogique par exemple, d’une refonte) aussi bien qu’externes (division sociale du travail scientifique, environnement idéologique dominant) peuvent rendre compte de cet aspect, comme d’ailleurs, problème plus important et plus crucial, de la division entre physique théorique et physique expérimentale. Sans insister ici sur ces points, on indiquera seulement que l’expression même de «physique mathématique» ne s’est imposée qu’au siècle dernier, à l’apogée (donc au moment de la refonte) de la physique dite classique. Elle est tombée en désuétude pendant les années de développement impétueux de la physique dite moderne et ne reprend une certaine extension que depuis les années soixante, comme en témoigne la fondation de diverses revues spécialisées de physique mathématique. On y verra aussi bien l’effet des difficultés de croissance de certaines branches théoriques, comme la théorie quantique des champs, que celui de la spécialisation à outrance et de la parcellisation du travail scientifique aujourd’hui.

6. Les mathématiques et la spécificité de la physique

La singularité de la physique dans son rapport aux mathématiques est évidemment très difficile à saisir pour les conceptions qui font des mathématiques un «langage». On a vu qu’elles sont en effet contraintes de penser ce langage comme universel, c’est-à-dire s’appliquant à toutes les disciplines scientifiques. Ce point de vue oblige donc à traiter la physique, où, de façon empiriquement évidente, les mathématiques «marchent mieux», comme ne différant que quantitativement des autres sciences. Cette différence peut être pensée historiquement: on dira alors que la physique est «plus avancée» que les autres sciences et que cela explique son degré de mathématisation plus poussé. Ce seraient par exemple les méthodes expérimentales plus fines, un meilleur contrôle des conditions d’expérimentation qui rendraient compte de la possiblité de mesurer, quantitativement, toute grandeur physique. À son tour, cette mesurabilité générale permettrait l’intervention des mathématiques, «science du nombre» par excellence. Non seulement ce point de vue n’explique pas pourquoi la physique aurait ce privilège historique, mais encore il est profondément erroné. Réduire les mathématiques à la manipulation du quantitatif constitue une erreur de même nature que les considérer comme un simple langage. Même dans les branches des mathématiques mises en jeu lors des calculs numériques courants, telles que la théorie élémentaire des fonctions, des concepts fondamentaux, tels que ceux de dérivée, de limite, ne sont pas numériques! On notera a fortiori le rôle en physique quantique de la théorie des groupes ou de l’analyse fonctionnelle, dont le rapport avec l’aspect quantitatif des mesures physiques est pour le moins lointain.

On pourrait être alors tenté de localiser la singularité de la physique dans l’objet de sa pratique plutôt que dans sa situation historique. Ainsi trouve-t-on exprimée l’idée que la physique est «plus fondamentale» que les autres sciences de la nature. S’attaquant aux structures les plus profondes de la nature, elle mettrait en lumière ses lois les plus générales, implicitement pensées comme «plus simples», en un sens aristotélicien, et donc plus mathématisables. Dans tous les cas, on en arrive à une conception hiérarchisée des diverses sciences (n’a-t-on pas dit que la physique était la «reine des sciences»?). La mathématicité prend alors un caractère normatif et devient critère de scientificité. Mais le développement même des diverses disciplines scientifiques contredit ce point de vue, qu’il s’agisse de la persistance de sciences telles que la chimie et la géologie comme disciplines autonomes, ou de l’apparition de sciences neuves telles que la biologie moléculaire. On a déjà indiqué plus haut que ces sciences disposaient de leurs propres concepts, non mathématisés, mais dont la cohérence mutuelle et le rapport aux pratiques expérimentales spécifiques de leur domaine propre suffisent à assurer la scientificité. De fait, la connaissance que donne la physique de la structure atomique et la possibilité qu’elle apporte d’une théorie détaillée de la valence ou de la réaction chimique ne rendent pas ces concepts de la chimie inutiles et caducs pour autant; bien au contraire, elles en permettent l’approfondissement au moins autant et par cela même qu’elles en montrent les limites. En d’autres termes, lorsque les progrès d’une discipline scientifique lui ouvrent l’accès à un domaine jusque-là réservé à une autre, on n’a en général pas affaire à un simple déplacement de frontière. C’est plutôt un statut de double nationalité qui s’instaure, avec tous les avantages et inconvénients que cela peut supposer. Le véritable problème à étudier ici serait celui de la nature du rapport (application ou/et constitution) entre deux sciences. Les cas de la physique et de la chimie, de la chimie et de la biologie mériteraient une grande attention.

On semble donc se trouver devant une double difficulté: d’une part expliquer la singularité de la physique dans son rapport aux mathématiques, d’autre part spécifier la distinction entre la physique et les autres sciences de la nature. Ni l’histoire, ni l’objet, ni les méthodes expérimentales de la physique ne permettent de répondre à ces deux questions, toute «réponse» à l’une renforçant le mystère de l’autre. On propose ici une alternative radicale aux tentatives de solutions évoquées, par laquelle ces deux questions disparaissent en s’annulant l’une l’autre. On avance la thèse suivante: son rapport aux mathématiques constitue la détermination spécifique de la physique. En d’autres termes, c’est par la nature de son rapport aux mathématiques, par le rôle constitutif que celles-ci y jouent, que tel ou tel canton du continent des sciences de la nature accède à cette reconnaissance qui le situe dans le territoire de la physique.

On en donnera d’abord quelques preuves historiques. Quand s’opère avec Galilée la coupure épistémologique qui fonde la physique en tant que science au sens strict, Descartes fait le commentaire suivant: «Je trouve en général qu’il [Galilée] philosophe beaucoup mieux que le vulgaire, en ce qu’il quitte le plus qu’il peut les erreurs de l’École, et tâche à examiner les matières physiques par des raisons mathématiques. En cela je m’accorde entièrement avec lui et je tiens qu’il n’y a point d’autre moyen pour trouver la vérité.» On ajoutera d’ailleurs qu’il s’agit là du livre de Galilée qu’il appelle en général dans sa correspondance Traité du mouvement , mais qui fut publié sous le titre, sans doute dû à l’éditeur qui voulait attirer l’attention sur sa nouveauté, de Discours et démonstrations mathématiques appartenant à deux sciences nouvelles.

Un siècle et demi plus tard, l’électricité et le magnétisme n’entrent véritablement dans la physique qu’avec la loi de Coulomb, après avoir relevé au préalable de conceptions essentiellement vitalistes qui, pourtant, n’avaient pas empêché d’importants progrès expérimentaux (bouteille de Leyde, machines électrostatiques, piles voltaïques). La nouveauté de ce point de vue est exprimée en 1810 par Delambre qui déclare: «Tout ce qui concerne la lumière, la pesanteur, le mouvement et le choc des corps est aujourd’hui presque uniquement du ressort de la géométrie [...]. On a même tenté de soumettre au calcul les phénomènes de magnétisme et d’électricité.» Ajoutons encore un exemple: c’est l’intervention des mathématiques sous les espèces de la théorie des groupes qui fera, à la fin du XIXe siècle, de la cristallographie un domaine de la physique.

Si l’on adopte un point de vue analytique plutôt qu’historique, on constate que les disciplines frontières telles que la chimie physique, la géophysique, la biophysique, etc., ne peuvent pas se définir par leurs objets (évidemment les mêmes que ceux de la chimie, de la géologie, de la biologie pour autant qu’ils soient définis), ni par leurs méthodes expérimentales, d’ailleurs en évolution constante et rapide, mais seulement par le type de conceptualisation, mathématiquement constituée, qu’elles utilisent. Le cas de l’astrophysique mérite d’être mentionné ici; il permet de mettre en garde contre une interprétation formaliste de la thèse avancée où la détermination spécifique de la physique par son rapport aux mathématiques serait pensée comme inféodant celle-là à celles-ci, instituant un rapport en fin de compte hiérarchique. Ce serait «oublier» l’existence de pratiques expérimentales d’un type bien particulier qui séparent les sciences de la nature, dont la physique, des mathématiques. L’astronomie, en effet, beaucoup plus vieille que la physique, était considérée comme une discipline mathématique et le resta bien après la naissance de la physique. La fondation de l’astrophysique (que l’on peut faire remonter à la fin du siècle dernier) et la progressive extinction de l’astronomie à son profit résultent justement de l’importation de ces pratiques expérimentales dans un domaine déjà mathématiquement constitué, lui donnant d’ailleurs une extension considérable. Ce cas montre que les déplacements de frontière ne se font pas nécessairement dans un sens unique le long de la classification positiviste des sciences. Comme on a tenté de le montrer dans le cas des mathématiques et de la physique, l’idée même de classification universelle, de hiérarchie ne sert en général qu’à masquer la nécessité de comprendre simultanément la spécificité des sciences et leurs rapports mutuels au travers de leurs pratiques propres.

Encyclopédie Universelle. 2012.


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